Densites de probabilites sur des varietes et groupes de Lie
Résumé
Dans de nombreuses applications, comme les statistiques directionnelles, l’imagerie de tenseurs de diffu-
sion (DTI), le traitement du signal radar ou encore l’analyse de formes, les objets d’ ́etude ne sont pas
facilement repr ́esentables par des ́el ́ements d’un espace vectoriel. La g ́eom ́etrie riemannienne est alors
souvent utilis ́ee pour mod ́eliser cette absence de lin ́earit ́e. L’ ́etude de ce type de donn ́ees r ́eelles n ́ecessite
des outils statistiques et de traitement de donn ́ees bien souvent introduits dans un cadre vectoriel. La
g ́en ́eralisation aux vari ́et ́es riemanniennes de concepts statistiques usuels [7] et de m ́ethodes standard
d’analyse de donn ́ees comme l’analyse en composantes principales [10] ou la quantification [5], est par
cons ́equent un d ́efi important. L’absence d’unicit ́e de g ́en ́eralisation de lois usuelles comme la loi gaussi-
enne, selon que l’on veuille privilgier le respect de certaines invariances [3, 1] ou la concidence entre
maximum de vraisemblance et centre de masse riemannien [9], rend cette problmatique non triviale.
Les lois de probabilit ́es elles-mˆemes peuvent tre analyses via la gomtrie riemannienne. Une famille
paramtre de lois peut ˆetre munie d’une structure de vari ́et ́e riemannienne grce `a la m ́etrique de Fisher, qui
d ́efinit ainsi une g ́eom ́etrie dite de l’information. Les cas gaussiens unidimensionnel, multidimensionnel
centr ́e, et multidimensionnel centr ́e stationnaire ont t trs tudis, notamment en DTI [8] et en traitement
du signal radar [2], et font merger une gomtrie courbure ngative. Dans le cas non stationnaire, il faut
changer l’espace de repr ́esentation et se tourner vers le groupe de Lie sp ́ecial orthogonal [4]. D’autres
applications comme l’imagerie m ́edicale font ́emerger d’autres lois comme la loi gamma g ́en ́eralis ́ee, pour
la g ́eom ́etrie de laquelle peu de r ́esultats sont connus. Dans cette session, nous pr ́esenterons diff ́erentes
pistes pour aborder ces questions, pour des applications allant du traitement du signal au contrˆole du
trafic a ́erien, en passant par l’imagerie m ́edicale.