Densites de probabilites sur des varietes et groupes de Lie

Résumé : Dans de nombreuses applications, comme les statistiques directionnelles, l’imagerie de tenseurs de diffu- sion (DTI), le traitement du signal radar ou encore l’analyse de formes, les objets d’ ́etude ne sont pas facilement repr ́esentables par des ́el ́ements d’un espace vectoriel. La g ́eom ́etrie riemannienne est alors souvent utilis ́ee pour mod ́eliser cette absence de lin ́earit ́e. L’ ́etude de ce type de donn ́ees r ́eelles n ́ecessite des outils statistiques et de traitement de donn ́ees bien souvent introduits dans un cadre vectoriel. La g ́en ́eralisation aux vari ́et ́es riemanniennes de concepts statistiques usuels [7] et de m ́ethodes standard d’analyse de donn ́ees comme l’analyse en composantes principales [10] ou la quantification [5], est par cons ́equent un d ́efi important. L’absence d’unicit ́e de g ́en ́eralisation de lois usuelles comme la loi gaussi- enne, selon que l’on veuille privilgier le respect de certaines invariances [3, 1] ou la concidence entre maximum de vraisemblance et centre de masse riemannien [9], rend cette problmatique non triviale. Les lois de probabilit ́es elles-mˆemes peuvent tre analyses via la gomtrie riemannienne. Une famille paramtre de lois peut ˆetre munie d’une structure de vari ́et ́e riemannienne grce `a la m ́etrique de Fisher, qui d ́efinit ainsi une g ́eom ́etrie dite de l’information. Les cas gaussiens unidimensionnel, multidimensionnel centr ́e, et multidimensionnel centr ́e stationnaire ont t trs tudis, notamment en DTI [8] et en traitement du signal radar [2], et font merger une gomtrie courbure ngative. Dans le cas non stationnaire, il faut changer l’espace de repr ́esentation et se tourner vers le groupe de Lie sp ́ecial orthogonal [4]. D’autres applications comme l’imagerie m ́edicale font ́emerger d’autres lois comme la loi gamma g ́en ́eralis ́ee, pour la g ́eom ́etrie de laquelle peu de r ́esultats sont connus. Dans cette session, nous pr ́esenterons diff ́erentes pistes pour aborder ces questions, pour des applications allant du traitement du signal au contrˆole du trafic a ́erien, en passant par l’imagerie m ́edicale.
Document type :
Conference papers
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https://hal-enac.archives-ouvertes.fr/hal-02192502
Contributor : Laurence Porte <>
Submitted on : Tuesday, July 23, 2019 - 7:40:25 PM
Last modification on : Thursday, July 25, 2019 - 1:02:31 AM

Identifiers

  • HAL Id : hal-02192502, version 1

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Citation

Alice Le Brigant. Densites de probabilites sur des varietes et groupes de Lie. SMAI 2019, 9e Biennale Française des Mathématiques Appliquées et Industrielles, May 2019, Guidel, France. ⟨hal-02192502⟩

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