On the classification of statistical structures
Sur la classification des structures statistiques
Résumé
A statistical manifold is often obtained from a statistical model, namely a parametrized family of probability laws such that the metric is the Fisher met- ric. Starting from this observation, Lauritzen and Amari asked the following question: is it possible to realize statistical manifolds as finite dimensional sta- tistical models? This problem has been answered positively by Hong Van Le, who uses the Nash and Gromov embedding theorems to construct an embedding of the initial statistical manifold in Eucludian space of large enough dimension. Our approach is based on global analysis, we construct a statistical model of the exponential family on a canonical foliation in a compact statistical manifold. Finding characteristic obstructions to the existence of structures is a particu- larly important question arising in mathematics. In this work, we give conditions for an orientable manifold to admit an almost contact structure(almost cosymplectic structure), almost contact metric structure, contact structure, contact metric structure, cosymplectic(symplectic mapping torus) structure. We show that different classical structures in differential geometry defined by differential forms arises from the gauge equation of two dual connections.
Une variété statistique est souvent obtenue à partir d'un modèle statistique, à savoir une famille paramétrée de lois de probabilités telle que m´etrique en soit la métrique de Fisher. Partant de cette constatation, Lauritzen et Amari ont posé la question suivante: est-il possible de réaliser les variétés statistiques comme modèles statistiques de dimension finie ? Ce problème a reçu une réponse positive par Hong Van Le, qui utilise les deux théorèmes suivants pour construire un plongement de la variété statistique initiale dans un espace Euclidien de dimension suffisamment grand. Ce résultat montre que les variétés statistiques compacte de dimension finie sont réalisables comme modèles statistiques, mais ne donne pas de forme explicite. Dans notre approche, fondée sur l'analyse globale, nous construisons un modèle statistique de la famille exponentielle sur un feuilletage canonique. Le faisceau de solutions de l'équation hessienne sur une structure de jauge est un ingrédient clé pour comprendre certaines propriétés importantes d'un point de vue cohomologique. Dans notre travail, une représentation canonique du groupe de Lie associé par le troisième théorème de Lie à l'algèbre de Lie formée par les sections est introduite. Sur le feuilletage(singulier) qu'elle définit, une caractérisation des feuilles hyperboliques compactes est alors obtenue grâce a la nullité de la classe hessienne ou de la classe radiante de la représentation affine canonique du groupe de Lie dans son algèbre de Lie . Nous concluons alors que ces feuilles sont dotées d'une structure de modèle statistique grâce a des manipulations de la géométrie de Koszul. Il est fréquent de se poser la question de l'existence d'une structure particulière sur une variété différentielle. Dans ce chapitre, on tentera de répondre au problème suivant: Soit M une variété différentiable orientable de dimension impaire donné. Existe-t-il sur M une structure presque cosymplectique (presque de contact), une structure métrique presque de contact, une structure de contact, une structure métrique de contact, une structure quasi-contact (2-calibrée ou encore structure presque cosymplectique contact), une structure cosymplectique et une structure cokählerienne ? Nous montrons que différente structures classique en géométrie différentielle définies au moyen de formes différentielles proviennent de l'équation de jauge de deux connexions duales.
Origine : Version validée par le jury (STAR)